Smooth Diffuse Surface (Lambert BRDF)

Smoth Diffuse Surface (Lambert BRDF)

本ページでは，モンテカルロレイトレーシング法において， 理想拡散反射表面をレンダリングする方法を説明する． 理想拡散反射表面として Lambert BRDF の実装に必要な パラメータや数式，重点的サンプリングの方法を説明する．

Lambert BRDF

Lambert BRDFは，全ての方向に放射輝度が等しく反射するBRDFで

\[ \begin{align} f_{r} \left( x, \omega_{i}, \omega_{o} \right) = \frac{\rho}{\pi} \tag{1} \end{align} \]

で定義される．ここで，\(\rho\) は表面の反射率を表す．

重点的サンプリング (Importance Sampling)

反射方向 \(\omega_{o}\) の重点的サンプリングを行う． Lambert BRDF では， \(\omega_{o}\) は反射エネルギー分布に従ってサンプリングする． すなわち，反射方向のpdf \(p \left( \omega_{o} \right)\) は

\[ \begin{align} p \left( \omega_{o} \right) = \frac{cos \theta_{\omega_{o}}}{\pi} \tag{2} \end{align} \]

となる．ここで， \(cos \theta_{\omega_{o}} = \omega_{o} \cdot \omega_{n}\) である．

重点的サンプリングの際の反射レイのWeightは

\[ \begin{align} \frac{f_{r} \left( x, \omega_{i}, \omega_{o} \right) \left( \omega_{o} \cdot \omega_{n} \right)} {p \left( \omega_{o} \right)} = \rho \tag{3} \end{align} \]

となる．

\(\omega_{o}\) のサンプリング

反射方向 \(\omega_{o}\) のサンプリングには逆関数法を用いる．

注意として，このサンプリング方法は 法線が \(\omega_{n} = (0, 0, 1)\) の時の 反射方向をサンプリングしているため， サンプリング後は任意の法線に対応するように基底変換をする．

\[ \begin{align} P \left( \theta, \phi \right) = & \int_{0}^{\phi} \int_{0}^{\theta} p \left( \theta^{\prime}, \phi^{\prime} \right) \ sin \theta^{\prime} \ d \theta^{\prime} d \phi^{\prime} \\ = & \frac{\phi}{2 \pi} \cdot (1 - cos^{2} \theta) \\ P \left( \theta \right) = & 1 - cos^{2} \theta \\ P \left( \phi \right) = & \frac{\phi}{2 \pi} \end{align} \]

上記の \(P \left( \theta \right)\)，\(P \left( \phi \right)\) から， 反射方向の \(\theta\)，\(\phi\) は以下の式から求めることができる．

\[ \begin{align} \theta = & cos^{-1} (\sqrt{1 - u_{1}}) \tag{4} \\ \phi = & 2 \pi u_{2} \tag{5} \end{align} \]

ここで， \(u_{1}\)，\(u_{2}\) は \([0, 1)\) の乱数である．

まとめ

パラメータ

名称	記号	値
反射率	\(\rho\)	\(0 \le \rho \le 1\)

レンダリング

名称	記号	値
BRDF	\(f_{r} \left( x, \omega_{i}, \omega_{o} \right)\)	\(\frac{\rho}{\pi}\)
pdf	\(p \left( \omega_{o} \right)\)	\(\frac{cos \theta_{\omega_{o}}}{\pi}\)
反射レイのWeight	\(\frac{f_{r} \left( x, \omega_{i}, \omega_{o} \right) \left( \omega_{o} \cdot \omega_{n} \right)} {p \left( \omega_{o} \right)}\)	\(\rho\)

以上，Lambert BRDFについてまとめた．

参考文献

1. H. W. Jensen: Monte Carlo Ray Tracing (2003)
2. H. Son: Realistic Image Synthesis with Light Transport (2015)