レンダリング方程式の変数変換

このページは レイトレ Advent Calendar 2017 の記事である． 本ページでは，レンダリング方程式の変数変換について考える．

記号について

本ページでは以下の記号は定義済として扱う．

記号	説明
$\omega_{n}$	単位法線ベクトル
$\omega_{i}$	入射方向の単位ベクトル
$\omega_{o}$	反射方向の単位ベクトル
$L_{o}$	ある点からの反射光の放射輝度
$L_{e}$	ある点が自発光している場合の放射輝度
$L_{i}$	ある点への入射光の放射輝度
$S^{2}$	半球上の微小立体角の集合
$M$	空間中にある物体上の微小面積の集合
$f_{r}$	BRDF

微小立体角を積分する形のレンダリング方程式は式1で表される．

$$\begin{align} L_{o} \left( x, \boldsymbol{\omega_{o}} \right) = L_{e} \left( x, \boldsymbol{\omega_{o}} \right) + \int_{S^{2}} f_{r} \left( x, \boldsymbol{\omega_{i}}, \boldsymbol{\omega_{o}} \right) L_{i} \left( x, \boldsymbol{\omega_{i}} \right) cos \theta_{\omega_{n}} d \sigma \left( \boldsymbol{\omega_{i}} \right) \tag{1} \end{align}$$

式1では， 方向 $\omega_{i}$ を中心とした微小立体角を半球上で積分することによって 放射輝度の計算を行っている．

一方で，入射方向 $\omega_{i}$ ，出射方向 $\omega_{o}$ の代わりに， 下図のように空間中の3点を接続する形のレンダリング方程式を考えることもできる．

3点接続のレンダリング方程式では， 点 $x^{''}$ を中心とした微小面積を 空間中の物体上で積分することで放射輝度の計算を行う．

微小面積の積分では，点 $x$ から半球を通して見える範囲の微小面積のみを積分したい． そこで次の関数を導入する．

$$\begin{align} V \left( x \leftrightarrow x^{''} \right) = \begin{cases} 1 \ \ \left( x と x^{''} の間に遮蔽物が無い場合 \right) \\ 0 \ \ \left( x と x^{''} の間に遮蔽物がある場合 \right) \end{cases} \tag{2} \end{align}$$

この関数によって，点 $x$ から半球を通して見えない微小面積をカットする．

次に，微小立体角 $d \sigma$ と微小面積 $dA$ の関係は，下図から式3のように表すことができる．

$$\begin{align} d \sigma = \frac{dA cos \theta_{\omega_{n^{''}}}}{\left| x - x^{''} \right|^{2}} \tag{3} \end{align}$$

式2，3から，式1を基にして微小面積を積分する形のレンダリング方程式は

$$\begin{align} L_{o} \left( x \rightarrow x^{'} \right) = L_{e} \left( x \rightarrow x^{'} \right) + \int_{M} f_{r} \left( x^{'} \rightarrow x \rightarrow x^{''} \right) L \left( x \leftarrow x^{''} \right) V \left( x \leftrightarrow x^{''} \right) \frac{cos \theta_{\omega_{n}} cos \theta_{\omega_{n^{''}}}} {\left| x - x^{''} \right|^{2}} dA \left( x^{''} \right) \tag{4} \end{align}$$

となる．

まとめ

本ページではレンダリング方程式の変数変換について簡単にまとめた． 積分の変数変換ができれば，論文の式の検証ができたり自分で新しい式を考えることができて 便利です．

参考文献

1. James T. Kajiya: The rendering equation (1986)